Sur l'existence d'intégrales premières pour un germe de forme de Pfaff

Moussu, Robert

Annales de l'Institut Fourier, Tome 26 (1976), p. 171-220 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $\omega (x)=\sum ^n_{i=1}a_i(x)dx_i$ un germe en $0\in {\bf R}^n$ d’une forme de Pfaff, complètement intégrable ($\omega \wedge d\omega =0$) de classe $C^\infty $ ou analytique, dont 0 est un zéro algébriquement isolé $({\rm dim}_{\bf R}E_n/[a_1,a_2,\ldots ,a_n]< \infty ).$ La matrice $\Big ({\partial a_i\over \partial x_j}(0)\Big )$ est symétrique ; soit $q_w$ la forme quadratique correspondante. On montre dans ce travail :

i) que $\omega $ possède une intégrale première formelle (i.e., $j^\infty \omega =gdf$, $g(0)\ne 0$ où $f$ et $g$ sont des séries formelles).

ii) que, si $\omega $ est analytique et rang $q_w\ge 2$, $\omega $ possède une intégrale première analytique (i.e. $\omega = gdf$, $g(0)\ne 0$, $g,f\in 0_n$).

iii) que, si $\omega $ est $C^\infty $ et si (indice $q_m$) $\ge n-1\ge 3$, $\omega $ possède une intégrale première $C^\infty $ (i.e., $\omega =gdf$, $g(0)\ne 0$, $g,f\in E_n$).

Abstract

Let $\omega (x)=\sum ^n_{i=1}a_i(x)dx_i$ a germ at $0\in {\bf R}^n$ of a ($C^\infty $ or analytic) completely integrable pfaffian form ($\omega \wedge d\omega =0$) for which 0 is an algebraically isolated zero $({\rm dim}_{\bf R}E_n/[a_1,a_2,\ldots ,a_n]< \infty ).$ The matrix $\Big ({\partial a_i\over \partial x_j}(0)\Big )$ is symmetric; let $q_w$ the associated quadratic form. We prove in this article:

i) that $\omega $ has a formal first integral (i.e., $j^\infty \omega =gdf$, $g(0)\ne 0$, $g,f\in F_n$).

ii) that, if $\omega $ is analytic and rank $q_w\ge 2$, $\omega $ has a analytic first integral (i.e., $\omega = gdf$, $g(0)\ne 0$, $g,f\in 0_n$).

iii) that, if $\omega $ is $C^\infty $ and if (index $q_m$) $\ge n-1\ge 3$, $\omega $ has a $C^\infty $ first integral (i.e., $\omega =gdf$, $g(0)\ne 0$, $g,f\in E_n$).

Détail

Publié le : 1976-01-01

MR 54 #3737 | Zbl 0328.58002 | 7 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.621

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