Additive functionals of Markov processes and stochastic systems
Dynkin, Evgeny B.
Annales de l'Institut Fourier, Tome 25 (1975), p. 177-200 / Harvested from Numdam
Access to full text
Full (PDF)
Full (DJVU)

Intuitivement, une fonctionnelle additive d’un processus stochastique (x t ,P), est une méthode de mesure du temps qui dépend du cours du processus. En associant à chaque ensemble des états le temps moyen que le processus passe dans cet ensemble, nous définissons la mesure spectrale de la fonctionnelle. De cette manière, on établit une correspondance biunivoque entre toutes les fonctionnelles additives normales d’un processus de Markov et toutes les mesures δ-finies dans l’espace des états qui sont égales à zéro sur les ensembles non-accessibles. On montre cela sous la condition que les probabilités de transition P t,x sont continues à droite et les probabilités de transition inverses P t,x sont continues à gauche sur presque toutes les trajectoires. Selon des résultats précédents de l’auteur, si les distributions deux-dimensionnelles d’un processus de Markov sont absolument continues par rapport aux produits des distributions un-dimensionnelles correspondantes, on peut modifier le processus de telle manière que l’ensemble des fonctionnelles additives reste le même et les probabilités P P,t et P t,x acquièrent les propriétés indiquées.

Intuitively, an additive functional of a stochastic process (x t ,P) gives a method to measure time taking into account the development of the process. We associate with any set of states C the mathematical expectation of time x t belongs to C. In this way, we establish to one-to-one correspondence between all the normal additive functionals of a Markov process and all the δ-finite measures on the state space which charge no inaccessible set. This is proved under the condition that transition probabilities are almost all paths. According to the previous results of the author, if two-dimensional probability distributions of a Markov process are absolutely continuous with respect to products of corresponding one-dimensional distributions, then the process can be modified in such a way that the set of additive functionals does not change and transition and cotransition probabilities acquire the above-mentioned properties.

@article{AIF_1975__25_3-4_177_0,
     author = {Dynkin, Evgeny B.},
     title = {Additive functionals of Markov processes and stochastic systems},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     volume = {25},
     year = {1975},
     pages = {177-200},
     doi = {10.5802/aif.578},
     mrnumber = {55 \#9294},
     zbl = {0304.60044},
     language = {en},
     url = {http://dml.mathdoc.fr/item/AIF_1975__25_3-4_177_0}
}

Dynkin, Evgeny B. Additive functionals of Markov processes and stochastic systems. Annales de l'Institut Fourier, Tome 25 (1975) pp. 177-200. doi : 10.5802/aif.578. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1975__25_3-4_177_0/

[1]R. M. Blumenthal and R. K. Getoor, Markov Processes and Potential Theory, Academic Press, New York-London, 1968. | MR 41 #9348 | Zbl 0169.49204

[2]C. Dellacherie, Ensembles aléatoires I, Séminaire de Probabilités III, Université de Strasbourg, Lecture Notes in Math., 88, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1969, 97-114. | Numdam | MR 41 #2767 | Zbl 0184.41202

[3]C. Dellacherie, Capacités et processus stochastiques, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1972. | MR 56 #6810 | Zbl 0246.60032

[4]E. B. Dynkin, Markovskie processy, Fizmatgiz, Moskva, 1963, Markov Processes Vol. I-II, Springer-Verlag, Berlin-Göttingen-Heidelberg, 1965.

[5]E. B. Dynkin, Regular Markov processes, Uspehi Matem. Nauk, 28, 2 (170), (1973) (English translation in Russian Mathematical Surveys, London). | MR 53 #4244 | Zbl 0385.60059

[6]E. B. Dynkin, Additive functionals of Markov processes and their spectral measures, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 214 (1974), 1241-1244 (English translation in Soviet Math. Dokl.). | MR 49 #6376 | Zbl 0306.60047

[7]E. B. Dynkin, Markov representations of stochastic systems, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 218 (1974), 1009-1012. | MR 50 #14945 | Zbl 0323.60070

[8]E. B. Dynkin, Markov representations of stochastic systems, Uspehi Matem. Nauk, 30, 1 (1975), 61-99. | MR 53 #6701 | Zbl 0316.60019

[9]P. A. Meyer, Fonctionnelles multiplicatives et additives de Markov, Ann. Inst. Fourier, 12 (1962), 125-230. | Numdam | MR 25 #3570 | Zbl 0138.40802

[10]P. A. Meyer, Processus de Markov, Lecture Notes in Math., 26, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1967. | MR 36 #2219 | Zbl 0189.51403

[11]P. A. Meyer, Probability and Potentials, Blaisdell, Waltham Mass., 1966. | MR 34 #5119 | Zbl 0138.10401

[12]M. Metivier, Mesures vectorielles et intégrale stochastique II, Séminaire de probabilités, année 1972, Preprint.

[13]D. Revuz, Mesures associées aux fonctionnelles additives de Markov I, Trans. Amer. Math. Soc., 148 (1970), 501-531. | MR 43 #5611 | Zbl 0266.60053

[14]M. Šur, Continuous additive functionals of Markov processes and excessive functions, Dokl, Akad. Nauk SSSR, 137 (1961), 800-803 [Soviet Math. 2 (1961), 365-368]. | MR 26 #7023 | Zbl 0111.33204

[15]M. Šur, On approximation of additive functionals of Markov processes Uspehi Mat. Nauk, 29, 6 (1974), 183-184. | Zbl 0326.60092

[16]A. D. Wentzell, Nonnegative additive functionals of Markov processes, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 137 (1961), 17-20 [Soviet Math., 2 (1961), 218-221].