On vector measures

Constantinescu, Corneliu

Annales de l'Institut Fourier, Tome 25 (1975), p. 139-161 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit ${\cal M}$ l’espace de Banach des mesures réelles sur une tribu ${\bf R}$, ${\cal M}^{\prime }$ son dual, $E$ un espace localement convexe quasi-complet, $E^{\prime }$ son dual et $\mu $ une mesure sur ${\bf R}$ à valeurs dans $E$. On démontre que pour chaque $\theta \in {\cal M}^{\prime }$ il existe un élément $\int \theta \ d\mu \in E$ tel que $\langle x^{\prime }\circ \mu ,\theta \rangle = \big \langle \int \theta \ d\mu ,x^{\prime }\big \rangle $ pour tout $x^{\prime }\in E^{\prime }$. Si $(\theta _i)_{i\in I}$ est une famille filtrante décroissante dans ${\cal M}^{\prime }$, dont l’infimum est 0, alors le filtre des sections de $\big \lbrace \int \theta _i\ d\mu \mid i\in I\big \rbrace $ converge vers 0.

Abstract

Let ${\cal M}$ be the Banach space of real measures on a $\sigma $-ring ${\bf R}$, let ${\cal M}^{\prime }$ be its dual, let $E$ be a quasi-complete locally convex space, let $E^{\prime }$ be its dual, and let $\mu $ be an $E$-valued measure on ${\bf R}$. If is shown that for any $\theta \in {\cal M}^{\prime }$ there exists an element $\int \theta \ d\mu $ of $E$ such that $\langle x^{\prime }\circ \mu ,\theta \rangle = \big \langle \int \theta \ d\mu ,x^{\prime }\big \rangle $ for any $x^{\prime }\in E^{\prime }$ and that the map

θ→∫θdμ:ℳ′→E

is order continuous. It follows that the closed convex hull of $\mu ({\bf R})$ is weakly compact.

Détail

Publié le : 1975-01-01

MR 53 #6301 | Zbl 0286.46044

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.576

Bibliographie

[1] N. Dunford and J. T. Schwartz, Linear operators Part. I., Interscience Publishers Inc., New York, 1958. | Zbl 0084.10402

[2] J. Hoffmann-Jørgensen, Vector measures, Math. Scand., 28 (1971), 5-32. | Zbl 0217.38001

[3] J. Labuda, Sur quelques généralisations des théorèmes de Nikodym et de Vitali-Hahn-Saks, Bull. Acad. Pol. Sci. Math., 20 (1972), 447-456. | MR 49 #5290 | Zbl 0242.28003

[4] J. Labuda, Sur le théorème de Bartle-Dunford-Schwartz, Bull. Acad. Pol. Sci. Math., 20 (1972), 549-553. | MR 47 #5218 | Zbl 0242.28010

[5] D. Landers and L. Rogge, The Hahn-Vitali-Saks and the uniform boundedness theorem in topological groups, Manuscripta Math., 4 (1971), 351-359. | MR 44 #402 | Zbl 0217.14902

[6] A. P. Robertson, Unconditional convergence and the Vitali-Hahn-Saks theorem, Bull. Soc. Math. France, Mémoire 31-32 (1972), 335-341. | Numdam | MR 51 #13622 | Zbl 0244.46059

[7] E. Thomas, L'intégration par rapport à une mesure de Radon vectorielle, Ann. Inst. Fourier 20, 2 (1970), 55-191. | Numdam | MR 57 #3348 | Zbl 0195.06101

[8] I. Tweddle, Vector-valued measures, Proc. London Math. Soc., 20 (1970), 469-485. | MR 41 #3707 | Zbl 0189.44903

[9] L. Drewnowski, On control submeasures anal measures, Studia Math., 50 (1974), 203-224. | MR 50 #4881 | Zbl 0285.28015

[10] K. Musiak, Absolute continuity of vector measures, Coll. Math., 27 (1973), 319-321. | MR 48 #6362 | Zbl 0262.46049