Dimension algébrique de sous-groupes analytiques de variétés de groupe

Waldschmidt, Michel

Annales de l'Institut Fourier, Tome 25 (1975), p. 23-33 / Harvested from Numdam

Résumé

Soient $G$ une variété de groupe définie sur le corps $\overline{\bf Q}$ des nombres algébriques, et $\varphi : {\bf C}^n \rightarrow G_{\bf C}$ un sous-groupe à $n$ paramètres de $G$, de dimension algébrique $d$. Nous nous proposons de majorer le rang $\ell $ (sur ${\bf Z}$) des sous-groupes $\Gamma $ de $ {\bf C}^n$ dont l’image par $\varphi $ est contenue dans le groupe $G_{\overline{\bf Q }}$ des points algébriques de $G$.

E. Bombieri et S. Lang ont déjà obtenu de telles majorations, en supposant que les points de $\Gamma $ sont très bien distribués : pour $d\ge n+1$, on a $\ell \le n^2+3n$ pour des variétés linéaires, et $\ell \le 2n^2+4n$ pour des variétés abéliennes .

Nous raffinons ces majorations en montrant que, sous les mêmes hypothèses, on a $\ell d \le n(\ell + d)$ dans le cas linéaires, et $\ell d \le n(\ell + 2d)$ dans le cas abélien. Ces majorations deviennent respectivement $\ell \le 2n-1$ et $\ell \le 2n$ quand on suppose de plus $\Gamma \subset \overline{{\bf Q}}^n$ et $d\ge n+1$. Nous obtiendrons d’autres inégalités sous des hypothèses de répartition moins fortes.

Ces résultats sont des corollaires d’un critère arithmétique pour que des fonctions, méromorphes dans ${\bf C}^n$ et d’ordre fini, soient algébriquement dépendantes sur ${\bf Q}$.

Abstract

Let $G$ be a group variety defined over the field $\overline{\bf Q}$ of algebraic numbers; let $\varphi : {\bf C}^n \rightarrow G_{\bf C}$ be a $n$-parameter subgroup of $G$, of algebraic dimension $d$. We bound the rank $\ell $ (over ${\bf Z}$) of the subgroups $\Gamma $ of $ {\bf C}^n$, such that $\varphi (\Gamma )$ is contained in the group $G_{\overline{\bf Q }}$ of algebraic points of $G$.

E. Bombieri and S. Lang gave such bounds when the points of $\Gamma $ are sufficiently well distributed: for $d\ge n+1$, one has $\ell \le n^2+3n$ for linear varieties, and $\ell \le 2n^2+4n$ for abelian varieties.

We improve these bounds, by showing that, under the same hypothesis, one has $\ell d \le n(\ell + d)$ in the linear case, and $\ell d \le n(\ell + 2d)$ in the abelian case. These bounds are replaced by $\ell \le 2n-1$ and $\ell \le 2n$ respectively, when we assume, moreover, that $\Gamma \subset \overline{{\bf Q}}^n$ and $d\ge n+1$. We get other inequalities with weaker distribution hypothesis.

These results are obtained as corollaries of an arithmetic criterion for the algebraic dependence of meromorphic functions in ${\bf C}^n$, of finite order.

Détail

Publié le : 1975-01-01

MR 51 #10248 | Zbl 0275.14022

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.543

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