On extensions of holomorphic functions satisfying a polynomial growth condition on algebraic varieties in ${\bf C}^n$

Björk, Jean Erik

On extensions of holomorphic functions satisfying a polynomial growth condition on algebraic varieties in

𝐂^{n}

Björk, Jean Erik

Annales de l'Institut Fourier, Tome 24 (1974), p. 157-165 / Harvested from Numdam

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Résumé
Abstract

Soit $V$ une variété algébrique dans $C^{n}$ ; pour un nombre entier $k$ nous désignerons par $Pol (V, k)$ toutes les fonctions holomorphes $f (z)$ sur $V$ qui satisfont à $| f (z) | \leq C_{f} (1 + | z |)^{k}$ pour chaque point $z \in V$ , où $C_{f}$ est une constante. Nous estimons le plus petit nombre entier $ε (V, k)$ tel que toute fonction $f \in Pol (V, k)$ admet un prolongement de $V$ dans $C^{n}$ par un polynôme $P (z_{1}, ..., z_{n})$ , où le degré de $P$ est majoré par $k + ε (V, k)$ . En particulier ${lim}_{k > \infty} ε (V, k)$ est lié à certains groupes de cohomologie à coefficients dans certains faisceaux analytiques cohérents sur $V$ . L’existence de $ε (V, k)$ est par exemple une conséquence facile du “Vanishing Theorem” de Kodaira.

Let $V$ be an algebraic variety in $C^{n}$ and when $k \geq 0$ is an integer then $Pol (V, k)$ denotes all holomorphic functions $f (z)$ on $V$ satisfying $| f (z) | \leq C_{f} (1 + | z |)^{k}$ for all $z \in V$ and some constant $C_{f}$ . We estimate the least integer $ε (V, k)$ such that every $f \in Pol (V, k)$ admits an extension from $V$ into $C^{n}$ by a polynomial $P (z_{1}, ..., z_{n})$ , of degree $k + ε (V, k)$ at most. In particular ${lim}_{k > \infty} ε (V, k)$ is related to cohomology groups with coefficients in coherent analytic sheaves on $V$ . The existence of the finite integer $ε (V, k)$ is for example an easy consequence of Kodaira’s Vanishing Theorem.

Publié le : 1974-01-01

MR 51 #928 | Zbl 0288.32014

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.535

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Björk, Jean Erik. On extensions of holomorphic functions satisfying a polynomial growth condition on algebraic varieties in ${\bf C}^n$. Annales de l'Institut Fourier, Tome 24 (1974) pp. 157-165. doi : 10.5802/aif.535. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1974__24_4_157_0/

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