Deux remarques sur les séries et les polynômes de Dirichlet

Deutsch, Christian

Deutsch, Christian

Annales de l'Institut Fourier, Tome 24 (1974), p. 165-169 / Harvested from Numdam

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Résumé
Abstract

Cette note contient deux résultats :

- d’une part, une majoration de l’abscisse d’absolue convergence du développement en série de Dirichlet de l’inverse de la somme d’une série de Dirichlet donnée.

- d’autre part, le fait que tout polynôme de Dirichlet non constant

1 + \sum_{2 \leq k \leq N} a_{k} λ_{k}^{- s} où les a_{k} sont des entiers relatifs

et les $λ_{k}$ sont des nombres réels $> 1$ s’annule dans tout demi-plan Réel $s > - ε$ où $ε > 0$ .

L’un et l’autre de ces résultats sont conséquences d’une proposition que l’on démontre en utilisant des théorèmes classiques de la théorie des fonctions p.p. analytiques.

This note contains two results :

- First, an upper bound for the abscissa of absolute convergence of the Dirichlet series expansion of $1 / f (s)$ where $f (s)$ is the sum of a given Dirichlet series.

- Secondly, we prove that any non-constant Dirichlet polynomial

1 + \sum_{2 \leq k \leq N} a_{k} λ_{k}^{- s}

(where $λ > 1$ and $a_{k}$ is an integer for all $k = 2, ..., N$ ) has a zero in any half-plane Real $s > - ε$ where $ε > 0$ .

Both of these theorems are consequences of a result which we prove by using classical therorems on analytic almost periodic functions.

Publié le : 1974-01-01

MR 53 #1156 | Zbl 0287.30003

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.524

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Deutsch, Christian. Deux remarques sur les séries et les polynômes de Dirichlet. Annales de l'Institut Fourier, Tome 24 (1974) pp. 165-169. doi : 10.5802/aif.524. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1974__24_3_165_0/

Bibliographie

[1]A.S. Besicovitch, Almost periodic functions (Dover Publications, inc). Chapter III, Analytic Almost Periodic Functions.

[2]C. Corduneanu, Almost periodic functions (Interscience Publisher). Chapter III, Analytic Periodic Functions.

[3]E. Hewitt, J.H. Williamson, Note on absolutely convergent Dirichlet series, Proc. Am. Math. Society, (1957) N° 8. | MR 19,851b | Zbl 0081.06804