Construction of the solutions of boundary value problems for the biharmonic operator in a rectangle

Aronszajn, Nachman ; Brown, R. D. ; Butcher, R. S.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 23 (1973), p. 49-89 / Harvested from Numdam

Résumé

Une méthode est développée pour la construction des solutions de l’équation $\Delta ^2u=F$ dans $R=\lbrace (x,y):\vert x\vert < a,\;\vert y\vert < b\rbrace $, soumises aux conditions aux limites $u=\varphi $, ${\partial u\over \partial n}=\psi $ sur $\partial R$. Le problème se réduit à celui de trouver la projection orthogonale $Pw$ de $w\in L^2(R)$ sur le sous-espace ${\bf H}\subset L^2(R)$ des fonctions harmoniques dans $R$. Ce dernier problème est résolu par la décomposition de ${\bf H}$ en somme directe (non orthogonale) de deux sous-espaces fermés ${\bf H}^{(1)},{\bf H}^{(2)}$ pour lesquels des bases orthonormées complètes sont connues explicitement. La projection $P$ est exprimée en termes des projections $P^{(i)}$, $i=1,2$, de $L^2(R)$ sur ${\bf H}^{(i)}$. Ceci permet d’établir une méthode d’approximation pour les solutions $u$ du problème original admettant des évaluations a priori et a posteriori (celle-ci très précise) de l’erreur. Dans un appendice des résultats numériques sont donnés concernant l’application de la méthode dans quelques cas concrets en utilisant l’évaluation a posteriori de l’erreur.

Abstract

A technique is developed for constructing the solution of $\Delta ^2u=F$ in $R=\lbrace (x,y):\vert x\vert < a,\;\vert y\vert < b\rbrace $, subject to boundary conditions $u=\varphi $, ${\partial u\over \partial n}=\psi $ on $\partial R$. The problem is reduced to that of finding the orthogonal projection $Pw$ of $w$ in $L^2(R)$ onto the subspace ${\bf H}$ of square integrable functions harmonic in ${\bf R}$. This problem is solved by decomposition ${\bf H}$ into the closed direct (not orthogonal) sum of two subspaces ${\bf H}^{(1)},{\bf H}^{(2)}$ for which complete orthogonal bases are known. $P$ is expressed in terms of the projections $P^{(1)}$, $P^{(2)}$ of $L^2(R)$ onto ${\bf H}^{(1)}$, ${\bf H}^{(2)}$ respectively. The resulting construction yields an approximation technique with both a priori and a posteriori error bounds (the latter very precise). In a short appendix the numerical results are given of the application of the technique in some specific examples and the a posteriori error evaluated.

Détail

Publié le : 1973-01-01

MR 50 #760 | Zbl 0258.31009 | 1 citation dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.472

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