Boundary approach filters for analytic functions

Doob, J. L.

Doob, J. L.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 23 (1973), p. 187-213 / Harvested from Numdam

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Résumé
Abstract

Soit $H^{\infty}$ l’espace des fonctions bornées holomorphes dans $D : | z | < 1$ , et soit $\bar{D}$ l’espace des idéaux maximaux de l’algèbre $H^{\infty}$ , une compactification de $D$ . On étudie les relations entre les fonctions de $H^{\infty}$ et leurs valeurs limites sur $\bar{D} - D$ . Soit $D_{1}$ le sous-ensemble de $\bar{D}$ sur le point 1. Un sous-ensemble $A$ de $D_{1}$ est un “ensemble de Fatou” si tout $f$ dans $H^{\infty}$ a une limite en $e^{i θ} A$ pour presque tout $θ$ . Le sous-ensemble nontangentiel est un ensemble de Fatou d’après le théorème de Fatou. Il y a beaucoup d’ensembles de Fatou plus grands, par exemple le sous-ensemble de $D_{1}$ des points fixes, mais il n’y a pas un ensemble de Fatou maximal. L’ensemble des points $Q$ de $D_{1}$ dont ${Q}$ est un ensemble de Fatou est dense dans $D_{1}$ .

Let $H^{\infty}$ be the class of bounded analytic functions on $D : | z | < 1$ , and let $\bar{D}$ be the set of maximal ideals of the algebra $H^{\infty}$ , a compactification of $D$ . The relations between functions in $H^{\infty}$ and their cluster values on $\bar{D} - D$ are studied. Let $D_{1}$ be the subset of $\bar{D}$ over the point 1. A subset $A$ of $D_{1}$ is a “Fatou set” if every $f$ in $H^{\infty}$ has a limit at $e^{i θ} A$ for almost every $θ$ . The nontangential subset of $D_{1}$ is a Fatou set according to the Fatou theorem. There are many larger Fatou sets, for example the fine topology subset of $D_{1}$ but there is no largest Fatou set. The set of those points of $D_{1}$ which are Fatou singletons is dense in $D_{1}$ .

Publié le : 1973-01-01

MR 51 #3448 | Zbl 0251.30034

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.476

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Doob, J. L. Boundary approach filters for analytic functions. Annales de l'Institut Fourier, Tome 23 (1973) pp. 187-213. doi : 10.5802/aif.476. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1973__23_3_187_0/

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