Real algebraic actions on projective spaces - A survey

Petrie, Ted

Annales de l'Institut Fourier, Tome 23 (1973), p. 135-150 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $G$ un groupe de Lie compact. Pour toute $G$-variété différentiable $Y$ on introduit l’ensemble ${\bf S}_G(Y)$ des classes d’équivalence de couples $(X,f)$ où $f:X\rightarrow Y$ est une $G$-application et une équivalence d’homotopie, deux couples $(X_i,f_i)$, $i=0,1$, étant équivalents s’il existe une $G$-équivalence d’homotopie $\varphi :X_0\rightarrow X_1$ telle que $f_0$ soit $G$-homotope à $f_1\circ \varphi $.

Les propriétés de l’ensemble ${\bf S}_G(Y)$ dépendent des représentations de $G$ dans les espaces tangents à $X$ et $Y$ en les points fixes de $G$.

Dans le cas où $G$ est $S^1$, et où $Y$ est la $G$-variété définie par une action “linéaire” de $S^1$ sur l’espace projectif complexe ${\bf C}{\bf P}^n$, on exhibe un élément non trivial de ${\bf S}_{S^4}(Y)$ en introduisant une action algébrique réelle de $S^1$ sur ${\bf C}{\bf P}^n$ ayant des points fixes isolés et telle que la famille des représentations de $S^1$ dans les espaces tangents en ces points fixes soit distincte de toute famille de représentations provenant d’une action “linéaire” de $S^1$ sur ${\bf C}{\bf P}^n$.

Abstract

Let $G$ be a compact lie group. We introduce the set ${\bf S}_G(Y)$ for every smooth $G$ manifold $Y$. It consists of equivalence classes of pair $(X,f)$ where $f:X\rightarrow Y$ is a $G$ map which defines a homotopy equivalence from $X$ to $Y$. Two pairs $(X_i,f_i)$, for $i=0,1$, are equivalent if there is a $G$ homotopy equivalence $\varphi :X_0\rightarrow X_1$ such that $f_0$ is $G$ homotopic to $f_1\circ \varphi $.

Properties of the set ${\bf S}_G(Y)$ and related to the representation of $G$ on the tangent spaces of $X$ and $Y$ at the fixed points. For the case $G=S^1$ and $Y$ is the $S^1$ manifold defined by a “linear” $S^1$ action on complex projective $n$ space ${\bf C}{\bf P}^n$, we exhibit non-trivial elements of ${\bf S}_{S^4}(Y)$ by discussing a real algebraic action of $S^1$ on ${\bf C}{\bf P}^n$ with isolated fixed points such that the collection of representations of $S^1$ on the tangent spaces at the isolated fixed points as distinct from the collection of representations occurring for any “linear” $S^1$ action on ${\bf C}{\bf P}^n$.

Détail

Publié le : 1973-01-01

MR 49 #4005 | Zbl 0264.57015

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.464

Bibliographie

[1] M. F. Atiyah and R. Bott, A Lefschitz fixed point formula for elliptic complexes II, Applications, Vol. 88 (1968), 451-491. | MR 38 #731 | Zbl 0167.21703

[2] M. F. Atiyah and G. Segal, Equivarient K-theory and completion, J. Diff. Geom. (3) (1968), 1-18. | MR 41 #4575 | Zbl 0215.24403

[3] M. F. Atiyah and I. Singer, The index of elliptic operators I, III. Annals of Math. (2) 87 (1968), 484-530 and 546-604. | MR 38 #5243 | Zbl 0164.24001

[4] T. Petrie, S1 actions on homotopy complex projective spaces. Bull. AMS (78) 2, March 1972, 105-153. | MR 45 #6029 | Zbl 0247.57010

[5] T. Petrie, Exotic S1 actions on CP3 and related to appear. | Zbl 0243.57020

[6] T. Petrie, Torus actions on homotopy complex projective spaces to appear. | Zbl 0262.57021

[7] T. Petrie, Real algebraic S' actions on complex projective spaces to appear.