Holomorphic functions on locally convex topological vector spaces. I. Locally convex topologies on ${\mathcal {H}} (U) $

Dineen, Sean

Annales de l'Institut Fourier, Tome 23 (1973), p. 19-54 / Harvested from Numdam

Résumé

Ce travail est consacré à l’étude des topologies localement convexes sur ${\bf H}(U)$ (lorsque $U$ est un sous-ensemble d’un espace vectoriel topologique localement convexe, $E$, et ${\bf H}(U)$ est l’ensemble des fonctions analytiques sur $U$). Nous discuterons les topologies suivantes sur ${\bf H}(U)$ :

(a) la topologie de la convergence compacte, ${\bf I}_o$ ;

(b) la topologie bornologique associée avec ${\bf I}_o$ ;

(c) la topologie engendrée par les semi-normes portables par un compact, de $U$, ${\bf I}_\omega $ ;

(d) la topologie bornologique associée avec ${\bf I}_\omega $ ; et

(e) la ${\bf I}_\omega $ topologie de Nachbin.

Pour $U$ balancé nous démontrerons que ces topologies ont rapport avec quelques espaces de convergence de la série de Taylor en $o$. Cette démonstration nous permet d’obtenir un critère pour l’égalité des topologies diverses sur ${\bf I}(u)$, et de construire des contre-exemples si l’égalité n’existe pas.

Abstract

This article is devoted to a study of locally convex topologies on ${\bf H}(U)$ (where $U$ is an open subset of the locally convex topological vector space $E$ and ${\bf H}(U)$ is the set of all complex valued holomorphic functions on $E$). We discuss the following topologies on ${\bf H}(U)$:

(a) the compact open topology ${\bf I}_0$,

(b) the bornological topology associated with ${\bf I}_0$,

(c) the ported topology of Nachbin ${\bf I}_\omega $,

(d) the bornological topology associated with ${\bf I}_\omega $ ; and

(e) the ${\bf I}_\omega $ topological of Nachbin.

For $U$ balanced we show these topologies are related to various kinds of convergence of the Taylor series at $o$. This in turn allows us to obtain criterion for equality of different topologies on ${\bf H}(U)$ and to construct counterexamples when we do not have equality.

Détail

Publié le : 1973-01-01

MR 58 #17843 | MR 500153 | Zbl 0241.46022 | 3 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.443

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