Homotopie et holonomie de certains feuilletages de co-dimension 1

Garançon, Maurice

Annales de l'Institut Fourier, Tome 22 (1972), p. 61-71 / Harvested from Numdam

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Résumé
Abstract

Dans cet article nous étudions les feuilletages, transversalement orientables, de codimension 1 et classe $C^{r}$ , $r \geq 2$ , qui n’admettent aucune transversale fermée nulle-homotope. Si $i_{F}$ est l’inclusion de la feuille $F$ , $(i_{F})_{*}$ l’application induite sur les groupes fondamentaux, et $ϕ_{F}$ une antireprésentation d’holonomie de $F$ , alors cette condition est équivalente à la suivante :

Ker (i_{F})_{*} \subseteq Ker ϕ_{F} pour toute feuille F .

Résultats : Si $M^{n}$ est une variété dont le groupe fondamental contient un sous-groupe cyclique d’indice fini, et si $ℱ$ est un feuilletage de codimension 1 de $M^{n}$ on a :

i) Si $ℱ$ satisfait aux conditions énumérées ci-dessus, toute feuille, dont l’holonomie est non zéro, est fermée.

ii) Si $(i_{F})_{*}$ est injectif, pour tout $F$ , toute feuille coupée par une transversale fermée possède un groupe fondamental fini.

iii) Si $n = 3$ et $M$ est compacte, $ℱ$ possède une feuille compacte.

In this paper, we study the transversaly orientable foliations, of codimension 1 and class $C^{r}$ , $r \geq 2$ , on a manifold $M$ , such that there is no null-homotopic closed transversal. If $i_{F}$ is the inclusion of the leaf $F$ in $M$ , $(i_{F})_{*}$ the induced map between the fundamental groups, and $ϕ_{F}$ and anti-representation of holonomy for $F$ , then this condition is equivalent to the following: $Ker (i_{F})_{*} \subseteq Ker ϕ_{F} for all F .$ We prove: If $M^{n}$ is a manifold with a fundamental group containing a cyclic subgroup of finite index and $ℱ$ a codimension 1 foliation on $M^{n}$ then:

i) If the preceding conditions are satisfied by $ℱ$ , a leaf with non zero holonomy is closed.

ii) If $(i_{F})_{*}$ is one to one, for all $F$ , a leaf intersected by a closed transversal has a finite fundamental group.

iii) If $n = 3$ and $M$ is compact, $ℱ$ has a compact leaf.

Publié le : 1972-01-01

MR 49 #11534 | Zbl 0225.57009 | 1 citation dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.412

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Garançon, Maurice. Homotopie et holonomie de certains feuilletages de co-dimension 1. Annales de l'Institut Fourier, Tome 22 (1972) pp. 61-71. doi : 10.5802/aif.412. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1972__22_2_61_0/

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