Sur l'arithmétique d'une extension diédrale

Bergé, Anne-Marie

Annales de l'Institut Fourier, Tome 22 (1972), p. 31-59 / Harvested from Numdam

Résumé

Étant donnée une extension galoisienne $E/{\bf Q}$ de groupe de Galois $G$ diédral, on montre que l’anneau $B$ des entiers de $E$ est un ${\bf Z}[G]$-module isomorphe à l’ordre formé des éléments de ${\bf Q}[G]$ qui transportent $B$ dans lui-même (ordre décrit explicitement suivant la ramification de l’extension $E/{\bf Q}$. On a rattaché cette étude à la recherche, pour chaque ordre ${\frak D}$ de ${\bf Z}$ dans ${\bf Q}[G]$ contenant ${\bf Z}[G]$, d’invariants caractérisant à un isomorphisme près les modules sur ${\frak D}$, et qui permettent notamment un calcul du groupe des classes projectives de ${\frak D}$.

Abstract

Let $E/{\bf Q}$ be a normal extension whose Galois group $G$ is bihedral. The ring $B$ of the algebraic integers of $E$ is shown to be isomorphic, as a ${\bf Z}[G]$-module, to the order which is the set of the elements of ${\bf Q}[G]$ carrying $B$ in itself (a detailed description of this order is given in relation with the ramification of the extension). These results are deduced from a more general study of each ${\bf Z}$-order in ${\bf Q}[G]$ containing ${\bf Z}[G]$: invariants which uniquely determine the lattices over such an order up to isomorphism are given, and the projective class group of this order is described.

Détail

Publié le : 1972-01-01

MR 51 #8074 | Zbl 0223.12105

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.411

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