Topologies faciales dans les convexes compacts. Calcul fonctionnel et décomposition spectrale dans le centre d’un espace $A(X)$

Rogalski, Marc

Annales de l'Institut Fourier, Tome 22 (1972), p. 1-66 / Harvested from Numdam

Résumé

Cet article étudie, sur l’ensemble ${\cal S}(X)$ des points extrémaux d’un convexe compact $X$, des topologies faciales dont les fermés sont les traces de faces $F$ “parallélisables” (il existe une plus grande face $F^{\prime }$ disjointe de $F$, et tout $x$ de $X$ s’écrit $x=\lambda y + (1-\lambda )y^{\prime },~y\in F,~y^{\prime }\in F^{\prime }$, avec $\lambda $ unique). Les topologies faciales uniformisables sont en bijection avec les sous-espaces réticulés fermés et contenant 1 de l’espace $A(X)$ des fonctions affines continues sur $X$. Ceci redonne des résultats classiques sur les simplexes, et permet une étude géométrique des sous-espaces réticulés de $A(X)$.

Toute fonction $f$ de $A(X)$ continue pour une topologie faciale admet un calcul fonctionnel utilisant une décomposition spectrale de $f$ ($\psi (f)= \int \psi (\lambda ) de_\lambda $ pour $\psi $ universellement mesurable sur le “spectre” de $f$). Toutes les notions classiques de théorie spectrale ont une interprétation géométrique sur le convexe compact $X$ ; en particulier, si $u$ est universellement mesurable sur ${\cal S}(X)$ pour la topologie faciale la moins fine rendant $f$ continue, elle possède un prolongement vérifiant le calcul barycentrique et “approchable” au moyen de $f$.

Enfin, une décomposition spectrale subsiste pour une fonction semi-continue inférieurement pour une topologie faciale, avec interprétation géométrique des notions de théorie spectrale.

Abstract

In this paper, we study, on the set ${\cal S}(X)$ of the extremal points of a compact convex set $X$, facial topologies for which closed sets are the intersection with ${\cal S}(X)$ of “parallel” faces (there exists a greatest face $F^{\prime }$ disjoint of $F$, and, for every $x$ in $X$, $x=\lambda y + (1-\lambda )y^{\prime },~y\in F,~y^{\prime }\in F^{\prime }$, with $\lambda $ unique). There exists a bijection between the uniformizable facial topologies and the closed sub-lattices containing 1 of the space $A(X)$ of the affine continuous functions on $X$. This gives classical results on simplexes, and permits a geometrical study of the sub-lattices of $A(X)$.

Every function $f$ of $A(X)$ which is continuous for a facial topology has a functional calculus which uses a spectral decomposition of $f$ ($\psi (f)= \int \psi (\lambda ) de_\lambda $ for $\psi $ universally measurable on the “spectrum” of $f$). All the classical concepts of spectral theory have a geometrical interpretation on the compact convex set $X$; for example, if $u$ has an extension to $(X)$ which verifies the barycenter calculus, and is “approximable” by using the function $f$.

Such a spectral decomposition exists also for a lower semi-continuous function for a facial topology, with geometrical interpretation of the concepts of spectral theory.

Détail

Publié le : 1972-01-01

MR 48 #12020 | Zbl 0219.52001 | 1 citation dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.401

Bibliographie

[1] Erik Alfsen, On the decomposition of a Choquet simplex into a direct convex sum of complementary faces, Math. Scand., t. 17, (1965), 169-176. | MR 33 #3189 | Zbl 0189.42801

[2] Erik Alfsen and Tage Bai Andersen, Split faces of compact convex sets, Aarhus Universitat, Reprint series, (1968/1969), n° 32.

[3] Heinz Bauer, Kennzeichnung kompakter Simplexe mit abgeschlossener Extremalpunktmenge, Archiv der Math., t. 14, (1963), 415-421. | MR 29 #1352 | Zbl 0196.42202

[4] Nicolas Bourbaki, Topologie générale, Chapitre 9. 2e édition. - Paris, Hermann, 1958 (Act. scient. et ind., 1045 ; Bourbaki, 8).

[5] Gustave Choquet et Paul-André Meyer, Existence et unicité des représentations intégrales dans les convexes compacts quelconques, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, t. 13, (1963), 139-154. | Numdam | MR 26 #6748 | Zbl 0122.34602

[6] Edwards Effros, Structure in simplexes, Acta Math., Uppsala, t. 117, (1967), 103-121. | MR 34 #3287 | Zbl 0154.14201

[7] Edwards Effros, Structure in simplexes, II, J. of funct. Anal., t. 1, (1967), 379-391. | MR 36 #3108 | Zbl 0179.17302

[8] Hachim Fakhoury, Solution d'un problème posé par Effros, C.R. Acad. Sc. Paris, t. 269, (1969), Série A, 77-79. | Zbl 0175.13106

[9] Alain Goullet De Rugy, Géométrie des simplexes. Paris, Centre de Documentation universitaire, (1968). | Zbl 0191.41101

[10] Alain Goullet De Rugy, Faces parallélisables et topologies faciales sur l'espace des états d'une algèbre stellaire, C.R. Acad. Sc., Paris, t. 270, (1970), série A, 376-379. | Zbl 0186.44604

[11] Gabriel Mokobodzki, Quelques propriétés des fonctions numériques convexes (s.c.i. ou s.c.s.) sur un ensemble convexe compact, Séminaire Brelot-Choquet-Deny : Théorie du potentiel, 6e année, (1961/1962), n° 9, 3 p. | Numdam | Zbl 0115.32001

[12] Rainer Nagel, Ideal theorie in geordneten lokalkonvexen Vektorraümen, Dissertation, Eberhard-Karls-Universität, Tübingen, (1969).

[13] Robert Phelps, Lecture on Choquet's theorem - Princeton, D. Van Nostrand mathematical Studies, 7).

[14] Marc Rogalski, Etude du quotient d'un simplexe par une face fermée, et application à un théorème de Alfsen ; quotient par une relation d'équivalence, Séminaire Brelot-Choquet-Deny : Théorie du potentiel, 12e année, 1967/1968, n° 2, 25 p. | Numdam | Zbl 0177.37603

[15] Marc Rogalski, Caractérisation des simplexes par des propriétés portant sur les faces fermées et sur les ensembles compacts de points extrémaux, Math. Scand. 28 (1971), 159-181. | MR 46 #5978 | Zbl 0225.46014

[16] Marc Rogalski, Quelques problèmes concernant une caractérisation des simplexes, C.R. Acad. Sc. Paris, t. 269, (1969), Série A, p. 645-647. | MR 40 #4728 | Zbl 0182.16401