Majorantes surharmoniques minimales d'une fonction continue

Moreau, Jean-Jacques

Annales de l'Institut Fourier, Tome 21 (1971), p. 129-156 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $\Omega $, ouvert de ${\bf R}^n$ et $f : \Omega \rightarrow {\bf R}$, continue. On dit qu’une majorante surharmonique de $f$ dans $\Omega $ est minimale si cette majorante surharmonique est harmonique dans l’ensemble (ouvert) où elle diffère de $f$. Beaucoup de propriétés de ces fonctions sont semblables à celles des fonctions harmoniques $\ge 0$ (lesquelles correspondent à $f=0$) ; par exemple la famille entière est uniformément équicontinue dans chaque partie compacte de $\Omega $, relativement à la structure uniforme de $\overline{\bf R}$. On traite le problème de Dirichlet : détermination d’une majorante surharmonique minimale de $f$ s’accordant à une fonction continue donnée dans la frontière de $\Omega $ (problème posé par la mécanique des milieux continus et étudié ailleurs par des méthodes hilbertiennes).

Abstract

Let $\Omega $ be an open subset of ${\bf R}^n$ and $f : \Omega \rightarrow {\bf R}$ a continuous function. A superharmonic majorant of $f$ in $\Omega $ is called minimal if it is harmonic in the (open) set where if differs from $f$. Many properties of these functions are similar to those of nonnegative harmonic functions in $\Omega $ (in fact the case $f=0$); e.g. the whole family is uniformly equicontinuous in each compact subset of $\Omega $, with respect to the uniform structure of $\overline{\bf R}$. Application is made to the “Dirichlet” problem of finding a minimal superharmonic majorant of $f$ agreeing with given boundary values (a problem arising from the mechanics of continua and formerly studied by hilbertian methods).

Détail

Publié le : 1971-01-01

MR 52 #5997 | Zbl 0209.13101

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.375

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