Étude des coefficients de Fourier des fonctions de $L^p(G)$

Bonami, Aline

Annales de l'Institut Fourier, Tome 20 (1970), p. 335-402 / Harvested from Numdam

Résumé

On étudie la décroissance à l’infini des coefficients de Fourier des fonctions $2\pi $-périodiques intégrables. Soit en particulier $\lambda _n$ une suite lacunaire d’entiers : $\lambda _{n+1}\ge 3\lambda _n$. On appelle suite $k$-lacunaire associée la suite $\mu ^k_N$ des entiers qui s’écrivent sous la forme $\pm \lambda _{n_1}\pm \lambda _{n_2}\pm \cdots \pm \lambda _{n_k}$, $n_1\!>n_2\!>\cdots \!>n_k$. On montre que si $\int ^{2\pi }_0\!\vert f\vert ({\rm Log}^+\vert f\vert )^{k/2}dx$ est fini, il en est de même de $\sum _N\vert \hat{f} (\mu ^k_N)\vert ^2$. D’autre part, si $\lambda _n$ satisfait à une condition plus restrictive, quel que soit $1< p\le 2$, si $\int ^{2\pi }_0\vert f\vert ^pdx$ est fini il en est de même de $\sum _k (p-1)\sum _N\vert \hat{f} (\mu ^k_N)\vert ^2$. Ces résultats sont généralisés à d’autres groupes que ${\bf R}/2\pi {\bf Z}$, et à d’autres situations. On montre enfin une dernière propriété des séries $k$-lacunaires : toute série $k$-lacunaire qui converge sur un ensemble de mesure positive est la série de Fourier d’une fonction de carré sommable.

Abstract

We study the decrease at infinity of the Fourier coefficients of $2\pi $-periodic integrable functions. Let $\lambda _n$ be a lacunary sequence of integers: $\lambda _{n+1}\ge 3\lambda _n$: the associated $k$-lacunary sequence is defined to be the sequence $\mu ^k_N$ of integers which can be written as $\pm \lambda _{n_1}\pm \lambda _{n_2}\pm \cdots \pm \lambda _{n_k}$, $n_1>n_2>\cdots >n_k$. It is shown that if $\int ^{2\pi }_0\vert f\vert ({\rm Log}^+\vert f\vert )^{k/2}dx$ is finite, then $\sum _N\vert \hat{f} (\mu ^k_N)\vert ^2$ is finite. If $\lambda _n$ satisfies a more restrictive condition, then for every $p$, $1< p\le 2$, it is shown that if $\int ^{2\pi }_0\vert f\vert ^pdx$ is finite, then $\sum _k (p-1)\sum _N\vert \hat{f} (\mu ^k_N)\vert ^2$ is finite. These results are generalized to other groups besides ${\bf R}/2\pi {\bf Z}$, and to other situations. It is also shown that every $k$ lacunary sequence which converges in a set of positive measure is the Fourier series of a square summable function.

Détail

Publié le : 1970-01-01

MR 44 #727 | Zbl 0195.42501 | 7 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.357

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