Fonctions plurisousharmoniques et analytiques dans les espaces vectoriels topologiques complexes
Noverraz, Philippe
Annales de l'Institut Fourier, Tome 19 (1969), p. 419-493 / Harvested from Numdam
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Dans ce travail, nous étudions la notion de fonctions plurisousharmoniques ou analytiques dans le cadre des espaces vectoriels topologiques séparés de dimension infinie sur le corps des complexes. Nous étudions des fonctions que nous appelons sous-médianes qui sont caractérisées par la propriété de la moyenne sur les droites complexes (la régularisée supérieure est alors plurisousharmonique et on prouve le lemme de Hartogs). Puis, nous considérons les différentes définitions et propriétés des fonctions analytiques en mettant l’accent sur la notion de fonction G-analytique (i.e. analytique sur les droites) et démontrons le théorème de Hartogs dans le cas des espaces de Fréchet. Nous introduisons la notion d’ensemble de classe P et étudions les propriétés de prolongement sur un tel ensemble des fonctions plurisousharmoniques ou analytiques. Pour terminer, nous démontrons un théorème de croissance lié aux coefficients de Fourier des fonctions plurisousharmoniques de plusieurs variables complexes.

In this paper we study the concept of plurisubharmonic or analytic function on complex topological vector spaces of infinite dimension. We study a class of functions which we call sub-median characterized by the mean property on complex lines (the upper regularization is then plurisubharmonic and we prove the Hargos Lemma). Then we consider the various definitions and properties of analytic functions, stressing the concept of G-analytic function (i.e. analytic on lines) and demonstrate the Hartogs Theorem in the case of Frechet spaces. We introduce the concept of set of class P and study the properties of extensions on such a set of plurisubharmonic of analytic functions. Finally we prove a growth theorems related to Fourier coefficients of plurisubharmonic functions of several complex variables.

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Noverraz, Philippe. Fonctions plurisousharmoniques et analytiques dans les espaces vectoriels topologiques complexes. Annales de l'Institut Fourier, Tome 19 (1969) pp. 419-493. doi : 10.5802/aif.332. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1969__19_2_419_0/

[1] M. G. Arsove, Functions representable as differences of subharmonic functions, Trans. Amer. Math. Soc., t. 75, (1953), 237-265. | MR 15,526d | Zbl 0052.33301

[2] V. Avanissian, Fonctions plurisousharmoniques et fonctions doublement sousharmoniques, Ann. E.N.S., t. 78, (1961), 101-161. | Numdam | MR 24 #A2052 | Zbl 0096.06103

[3] N. Bourbaki, Intégration, Actualités Scientifiques et Industrielles, 1175, Hermann, Paris (1952). | Zbl 0049.31703

[4] N. Bourbaki, Espaces vectoriels topologiques, Activités Scientifiques et industrielles, 1189, Hermann, Paris, (1966).

[5] N. Bourbaki, Variétés différentielles et analytiques (Résultats), Activités Scientifiques et Industrielles, 1333, Hermann, Paris (1967). | MR 36 #2161 | Zbl 0171.22004

[6] H. J. Bremermann, Holomorphic functionnals and complex convexity in Banach spaces, Pac. J. Math. 7, 811-831 (1957). | MR 19,567c | Zbl 0078.10901

[7] G. CŒUré, Le théorème de convergence dans les espaces localement convexes complexes, C.R. Acad. Sc. t. 264, 287-290, (1967). | MR 38 #338 | Zbl 0154.13102

[8] G. CŒUré, Thèse (à paraître aux Annales de l'Institut Fourier).

[9] J. Deny et P. Lelong, Étude des fonctions sousharmoniques dans un cylindre ou dans un cône. Bull. Soc. Math. de France, t. 75, (1947), 89-112. | Numdam | MR 9,352e | Zbl 0033.06401

[10] A. Douady, Le problème des modules pour les sous-espaces analytiques compacts d'un espace analytique donné, Annales Institut Fourier, t. 16, 1-68 (1966). | Numdam | MR 34 #2940 | Zbl 0146.31103

[11] A. Grothendieck, Sur certains espaces de fonctions holomorphes, J. Für reine und angew. Math., t. 192, (1953), 35-64. | MR 15,438a | Zbl 0051.08704

[12] D. P. Gupta, Malgrange theorem for nuclearly entire functions of bounded type on Banach Space. Notas de Math. n° 37 (1968) Rio. Brésil. | MR 58 #30238 | Zbl 0182.45402

[13] E. Hille and E. G. Phillips, Functional analysis and semi-groups, Colloquium, A.M.S. édition (1957). | Zbl 0078.10004

[14] L. Hörmander, An introduction to complexe analysis in several variables, Van Nostrand (1966). | Zbl 0138.06203

[15] B. Jessen, The theory of Integration in a space of infinity variables, Acta Math. 63 (1934) 249-323. | JFM 60.0328.01 | Zbl 0010.20004

[16] C. O. Kieselman, On entire functions of exponential type and indicators of analytic functionals, Acta Math., 117, (1967), 1-35. | MR 35 #1825 | Zbl 0152.07602

[17] P. Lelong, Les fonctions plurisousharmoniques, Ann. E.N.S., t. 62 (1945), 301-338. | Numdam | MR 8,271f | Zbl 0061.23205

[18] P. Lelong, Ensembles singuliers impropres des fonctions plurisousharmoniques, Journal de Math., t. 36 (1957), 263-303. | MR 19,1194a | Zbl 0122.31902

[19] P. Lelong, Fonctions plurisousharmoniques et fonctions analytiques de variables réelles, Ann. Inst. Fourier, t. XI (1961), 515-562. | Numdam | MR 26 #358 | Zbl 0100.07902

[20] P. Lelong, Fonctions entières de type exponentiel dans Cn, Ann. Inst. Fourier, t. XVI, (1966), 269-318. | Numdam | MR 35 #1827 | Zbl 0166.33602

[21] P. Lelong, Fonctions entières et fonctionnelles analytiques. Séminaire d'été Montréal (1967).

[22] a) P. Lelong, Fonctions plurisousharmoniques dans les espaces vectoriels topologiques, Sem. Lelong, 8e année (1967-1968). | Zbl 0165.45001

b) P. Lelong, Fonctions plurisousharmoniques et ensembles polaires dans les espaces vectoriels topologiques, C.R. Acad. Sc., t. 267, (1968), 916-918. | MR 39 #7412 | Zbl 0172.16501

[23] B. Malgrange, Existence et approximation des solutions des équations aux dérivées partielles et des équations de convolution, Ann. Inst. Fourier, t. 6, (1955-1956), 271-355. | Numdam | MR 19,280a | Zbl 0071.09002

[24] L. Nachbin, Topology on spaces of holomorphic mappings, Springer. (Ergebnisse n° 47). | MR 40 #7787 | Zbl 0172.39902

[25] Ph. Noverraz, Extension d'une méthode de séries de Fourier aux fonctions sousharmoniques et plurisousharmoniques. Sem. Lelong (1965-1966) Exposé n° 3 (Mars 1965) et C.R. Acad. Sc. Paris, t. 264, 675-678 (1967). | Numdam | Zbl 0196.12702

[26] Ph. Noverraz, Un théorème de Hartogs et théorèmes de prolongement dans les espaces vectoriels topologiques complexes, C.R. Acad. Sc., t. 266, 806-808 (1968). | Zbl 0162.16704

[27] Ph. Noverraz, Fonctions analytiques et théorèmes de prolongement, Sem. Lelong (1968-1969).

[28] J. P. Ramis, Les théorèmes de Weierstrass pour les anneaux polynômes de séries formelles et de séries convergentes sur un espace vectoriel (2 exposés) Sem. Lelong (1966-1967). | Numdam | Zbl 0165.35604

[29] J. P. Ramis, Thèse (à paraître chez Springer).

[30] L. A. Rubel, A. Fourier series method for entire functions, Duke Math. J., t. 30, (1963), 437-442. | MR 27 #2626 | Zbl 0129.29204

[31] L. A. Rubel et B. A. Taylor, A Fourier series method for meromorphic an entire functions. Bull. Soc. Math., t. 96 (1968), 53-96. | Numdam | Zbl 0157.39603

[32] B. A. Taylor, The fields of Quotients of some rings of entire functions. Proc. Of Symposia in Pure Math. Vol 11, Entire functions and related parts of analysis, AMS (1968). | MR 39 #1678 | Zbl 0179.39802

[33] M. A. Zorn, Characterisation of analytic functions in Banach space, Annals of Math., 2 (46) (1945), 585-593. | Zbl 0063.08407

[34] M. A. Zorn, Gateaux differentiability and essential boundedness, Duke Math. Jour., t. 12 (1945), 579-583. | MR 7,308a | Zbl 0061.25001

[35] A. Zygmund, Trigonometric series, Cambridge (1959). | Zbl 0085.05601