An axiomatic treatment of pairs of elliptic differential equations

Loeb, Peter

Annales de l'Institut Fourier, Tome 16 (1966), p. 167-208 / Harvested from Numdam

Résumé

Sur un espace localement compact séparé $W$, soit ${\bf h}$ une classe de fonctions réelles satisfaisant aux axiomes de Brelot. On suppose que la fonction constante 1 est surharmonique par rapport à ${\bf h}$, ce qui implique un principe de maximum pour ${\bf h}$. On établit d’abord pour l’espace $W$ un schéma de classification analogue à la classification usuelle des surfaces de Riemann ouvertes en surfaces paraboliques ou hyperboliques. Soit ${\bf h}$ une autre classe de fonctions réelles vérifiant les mêmes conditions que ${\bf h}$, et l’hypothèse additionnelle que les fonctions positives de ${\bf h}$ à domaine dans le complémentaire d’un compact fixe de $W$ sont surharmoniques par rapport à ${\bf h}$. On établit diverses relations entre les classes ${\bf h}$ et ${\bf R}$ ; en particulier si $W$ est hyperbolique par rapport à ${\bf h}$, il existe un isomorphisme isométrique de l’espace des fonctions bornées de ${\bf R}$ à domaine $W$ dans l’espace des fonctions bornées de ${\bf h}$ à domaine $W$ (la métrique étant celle définie par la norme du supremum). Ce travail généralise un travail de H.L. Royden dans lequel ${\bf h}$ est la classe des solutions de l’équation $\Delta u=Qu$ sur une surface de Riemann ouverte $W$, ${\bf R}$ la classe des solutions de l’équation $\Delta u=Pu$ sur $W$, et $P\ge Q\ge 0$.

Détail

Publié le : 1966-01-01

MR 37 #3039 | Zbl 0172.15101 | 6 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.240

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