Soit un laplacien généralisé, c’est-à-dire le générateur infinitésimal d’un semi-groupe sous-markovien d’opérateurs de convolution. On veut étudier les solutions élémentaires de . Nous ne considérons que les définis sur le groupe , la droite réelle.
S’il existe une solution élémentaire positive, alors il en existe une minimale . Celle-ci s’exprime comme où . Il s’agit ici du cas transient. Utilisant les méthodes de la théorie du potentiel on démontre que possède des limites, au sens des distributions, aux points et . La dérivée s’annule à l’infini.
Il se peut que n’ait aucune solution élémentaire en tant que distribution tempérée. Dans le cas contraire, le problème est bien adapté au groupe et, outre le cas transient, il y a le cas récurrent. Dans ce dernier cas, il existe une famille de constantes positives telles que converge vers une solution élémentaire . Pour cette solution la dérivée possède des limites à droite et à gauche, à savoir
où . La dérivée seconde s’annule à l’infini. Nos méthodes, dans le cas récurrent, sont essentiellement celles de la théorie du potentiel mais un peu d’analyse harmonique y intervient.
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Herz, Carl S. Les théorèmes de renouvellement. Annales de l'Institut Fourier, Tome 15 (1965) pp. 169-187. doi : 10.5802/aif.203. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1965__15_1_169_0/
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[3] , Hitting probabilities, Journ. Math. and Mech., 11 (1962), 593-614. | MR 25 #2655 | Zbl 0218.60061