Essais de géométrie riemannienne hyperbolique globale. Applications à la relativité générale
Avez, André
Annales de l'Institut Fourier, Tome 13 (1963), p. 105-190 / Harvested from Numdam
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On se propose d’étudier les variétés d’Einstein compactes en signature hyperbolique normale et plus particulièrement la validité du principe de Mach. Une première méthode consiste à elliptiser certains problèmes en associant à une métrique hyperbolique normale une métrique elliptique. On montre ainsi qu’un espace-temps compact et stationnaire est localement euclidien s’il est extérieur, à constante cosmologique positive s’il est feuilleté par des sections d’espace compactes et schématise un fluide parfait. Un contre-exemple montre que l’hypothèse sur le feuilletage est essentielle.

Après avoir établi un théorème du type Hopf-Rinow, la technique de Myers montre que les variétés complètes à métrique hyperbolique normale, et à courbure de Ricci bornée inférieurement par un nombre positif, ont leurs géodésiques temporelles de longueur bornée et leurs lacets temporels homotopes à zéro.

On montre l’existence sur une variété périodique close d’une section d’espace compacte, de classe C 2 , et d’aire maximum. Cela permet de démontrer que si un espace-temps périodique clos est extérieur, il est localement euclidien ; s’il schématise un fluide parfait sa constante cosmologique est positive.

La dernière partie tente l’extension de la théorie de Hodge-de-Rham en signature quelconque. On est conduit à discerner deux types de décomposition : ou bien l’espace F des p-formes est la somme directe S de l’espace des p-formes homologues à zéro, de celui des p-formes cohomologues à zéro, et de celui des p-formes fermées et cofermées, ou bien S est dense dans F au sens de la convergence faible. Ces notions permettent la généralisation de différents résultats classiques en signature elliptique.

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Avez, André. Essais de géométrie riemannienne hyperbolique globale. Applications à la relativité générale. Annales de l'Institut Fourier, Tome 13 (1963) pp. 105-190. doi : 10.5802/aif.144. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1963__13_2_105_0/

[1] D. Aufenkamp, C. R. Acad. Sci., 232, 1951, 213-214. | Zbl 0042.24004

[2] A. Avez, C. R. Acad. Sci., 240, 1955, 485-487. | Zbl 0064.16205

[3] L. Bel, La radiation gravitationnelle, C.D.U. et S.E.D.E.S., 5, Place de la Sorbonne, Paris. | Zbl 0093.43301

[4] A. Lichnerowicz, Théorie globale des connections et des groupes d'holonomie, Dunod, Paris. | Zbl 0116.39101

[5] A. Lichnerowicz, Théories relativistes de la gravitation et de l'électromagnétisme, Masson, Paris. | Zbl 0065.20704

[6] A. Lichnerowicz, Problèmes globaux en mécanique relativiste, Hermann, Paris, 1939. | MR 1,282f | Zbl 0061.47002

[7] A. Lichnerowicz, Géométrie des groupes de transformations, Dunod, Paris. | Zbl 0096.16001

[8] G. De Rham, Variétés différentiables, Hermann, Paris.

[9] N. Steenrod, The topology of fibre bundles, Princeton, University Press, qui emprunte ses démonstrations à C. Ehresmann. C. R. Acad. Sci., 216, 1943, 628.

[1] A. Avez, C. R. Acad. Sci., 250, 1960, 3585-3587. | Zbl 0094.23404

[2] P. Bidal et G. De Rham, Comm. Math. Helv., 19, 1946-1947.

[3] C. Ehresmann, Colloque de topologie algébrique (espaces fibrés), Bruxelles, 1951.

[4] M. Frechet, Sur le prolongement des fonctionnelles semi-continues et sur l'aire des surfaces courbes, Fund. Math, Vol. 7, 1925, 210-224. | JFM 51.0315.01

[5] P. Gillis, Sur les problèmes réguliers du calcul des variations de la forme I(z) = ∫Dn F(pi) d (xi) = minimum, Studia Mathematica, 8, 1939, 68-77. | JFM 65.0448.01 | Zbl 0020.37105

[6] Haar, Mathematische Annalen, 97, 1927, 124-158. | JFM 52.0710.02

[7] A. Lichnerowicz, Théorie globale des connections et des groupes d'holonomie, Dunod, Paris. | Zbl 0116.39101

[8] A. Lichnerowicz, L'intégration des équations de la gravitation relativiste et le problème des n corps, Journ. de Math., t. 23, Fasc. 1, 1944. | MR 7,266d | Zbl 0060.44410

[9] C. B. Morrey, Ann. Math. Studies, N° 33, Princeton, 1954, 101-159. | Zbl 0057.08301

[10] Myers, Riemannian manifolds in the large, Duke Math., vol 1, 1935, 42-43. | JFM 61.0786.03 | Zbl 0011.22502

[11] J. Nash, Proc. nat. Acad. Sc. U.S.A., 43, 1957, 754-758. | Zbl 0078.08704

[12] Synge, On the neighborhood of a geodesic in riemannian space. Duke Math, vol. 1, 1935. | Zbl 0013.03602

[1] A. Avez, Conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une variété soit un espace d'Einstein, C. R. Acad. Sci., 248, 1959. | MR 20 #7301 | Zbl 0084.18303

[2] A. Avez, Théorie de Hodge de Rham en métriques de signature quelconque C. R. Acad. Sci., 249, 1959 et 250, 1960. | MR 23 #A603 | Zbl 0088.37901

[3] L. Bel, La radiation gravitationnelle. C.D.U. et S.E.D.E.S., 5, place de la Sorbonne, Paris, Ve. | Zbl 0093.43301

[4] P. Bidal et G. De Rham, Les formes différentielles harmoniques, Comm. Math. Helv., 19, 1946-1947. | MR 8,93b | Zbl 0063.00378

[5] A. Lichnerowicz, Problèmes globaux en mécanique relativiste. Hermann, Paris, 1939. | MR 1,282f | Zbl 0061.47002

[6] A. Lichnerowicz, Théorie globale des connexions et des groupes d'holomonie, Dunod, Paris.

[7] A. Lichnerowicz, Géométrie des groupes de transformations, Dunod, Paris. | Zbl 0096.16001

[8] L. Schwartz, Théorie des distributions, t. I et II, Hermann, Paris, 1951. | MR 12,833d | Zbl 0042.11405

[9] N. Steenrod, The topology of fibre bundles. Princeton mathematical séries, 14. | MR 12,522b | Zbl 0054.07103