L’objet de cet article est l’étude de l’anneau des -endomorphismes d’un module de type fini sur un anneau local d’idéal maximal , de corps des restes . Si est un sous-module caractéristique, on définit un homomorphisme naturel de dans . En particulier, si , l’image de dans par cet homomorphisme est une approximation de l’anneau par une sous-algèbre de la -algèbre Réciproquement, si est une algèbre de dimension finie sur un corps , il existe un anneau local de corps des restes et un -module de type fini tels que soit isomorphe à . Si est fidèle, la surjectivité de est équivalente au fait que est libre. Un exemple simple montre que l’homomorphisme naturel de dans peut ne pas être surjectif pour grand. Si est un sous-module caractéristique maximal, l’idéal est bilatère maximal et, réciproquement, tout idéal bilatère maximal tel que soit distinct de est de ce type. La recherche des -modules tels que l’anneau soit commutatif se ramène, par extension d’anneau, à la recherche de modules dont les seuls endomorphismes sont les homothéties. Si l’anneau est intègre, l’égalité implique que est isomorphe à un idéal convenable de . Il n’en est plus de même dans le cas général. L’étude d’un endomorphisme particulier se fait, si l’anneau est hensélien, par une technique de relèvement de décomposition en somme directe. Si l’anneau est factoriel, on obtient une condition suffisante portant sur le polynôme minimal de .
@article{AIF_1961__11__313_0, author = {Lafon, Jean-Pierre}, title = {Anneau des endomorphismes d'un module de type fini sur un anneau local}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, volume = {11}, year = {1961}, pages = {313-384}, doi = {10.5802/aif.115}, mrnumber = {31 \#3447}, zbl = {0168.29103}, language = {fr}, url = {http://dml.mathdoc.fr/item/AIF_1961__11__313_0} }
Lafon, Jean-Pierre. Anneau des endomorphismes d'un module de type fini sur un anneau local. Annales de l'Institut Fourier, Tome 11 (1961) pp. 313-384. doi : 10.5802/aif.115. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1961__11__313_0/
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