The type and the Green's kernel of an open Riemann surface

Narasimhan, M. S.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 10 (1960), p. 285-296 / Harvested from Numdam

Résumé

On donne dans cet article une nouvelle approche pour déterminer le type et construire la fonction de Green d’une surface de Riemann ouverte.

Soit $\Omega $ une surface de Riemann ouverte et $\mathrel {\mathop {\hspace{0.0pt}{\bf D}^{\prime }}\limits ^{i}}$ $(i=0,1,2)$ l’espace des courants de degré $i$. ${\bf H}_0$ désignera l’espace pré-hilbertien des fonctions $C^\infty $ à supports compacts muni du produit scalaire de Dirichlet. D’abord on dit qu’une surface de Riemann ouverte est de type hyperbolique si l’injection ${\bf H}_0\rightarrow \mathrel {\mathop {\hspace{0.0pt}{\bf D}^{\prime }}\limits ^{0}}$ est continue. Dans ce cas on démontre que le complété ${\bf H}$ de ${\bf H}_0$ est un espace de courants et que l’opérateur $d*d$ applique ${\bf H}$ isomorphiquement sur son dual ${\bf H}^{\prime }$. Soit ${\bf G}$ l’isomorphisme inverse. Le noyau de ${\bf G}$, au sens de L. Schwartz, est appelé le noyau de Green de la surface de Riemann hyperbolique. On démontre qu’une surface de Riemann est de type hyperbolique (au sens de la définition ci-dessus) si et seulement si elle possède une fonction de Green au sens classique ; dans ce cas, le noyau de Green est identique, à un facteur constant près, à la fonction de Green au sens classique.

Comme conséquence immédiate de la définition du type, on déduit l’invariance du type vis-à-vis des applications quasi-conformes .

Détail

Publié le : 1960-01-01

MR 23 #A312 | Zbl 0096.06001

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.101

Bibliographie

[1] R. Courant and D. Hilbert, Methoden der Mathematischen Physik II, Berlin, 1937. | JFM 63.0449.05 | Zbl 0017.39702

[2] J. Deny and J. L. Lions, Les espaces de type de Beppo-Levi, Annales de l'Institut Fourier, 5, (1953-1954), pp. 305-370. | Numdam | MR 17,646a | Zbl 0065.09903

[3] Mme J. Lelong-Ferrand, Représentation conforme et tronsformations à intégrale de Dirichlet bornée, Paris, 1955. | Zbl 0064.32204

[4] J. L. Lions, Lectures on elliptic partial differential equations, Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, 1957.

[5] J. L. Lions, Problèmes aux limites en théorie des distributions, Acta. Math. 94, (1955), pp. 13-153. | MR 17,745d | Zbl 0068.30902

[6] B. Malgrange, Existence et approximation des solutions des équations aux dérivées partielles et des équations de convolution, Annales de l'Institut Fourier, VI (1955-1956), pp. 221-354. | Numdam | Zbl 0071.09002

[7] R. Nevanlinna, Uniformisierung, Berlin, 1953. | MR 15,208h | Zbl 0053.05003

[8] A. Pfluger, Theorie der Riemannschen Flächen, Berlin, 1957. | Zbl 0077.07803

[9] A. Pfluger, Sur une propriété de l'application quasi-conforme d'une surface de Riemann ouverte, C.R. Acad. Sci (Paris), 227 (1948), 25-26. | MR 10,28f | Zbl 0030.25201

[10] G. De Rham, Variétés différentiables, Paris, 1955. | Zbl 0065.32401

[11] L. Schwartz, Théorie des distributions I, Paris, 1957. | Zbl 0078.11003

[12] H. Weyl, The method of orthogonal projection in potential theory, Duke Math. J., 7 (1940), 411-444. | JFM 66.0444.01 | MR 2,202a | Zbl 0026.02001