Théorie des distributions à valeurs vectorielles. II

Schwartz, Laurent

Annales de l'Institut Fourier, Tome 8 (1958), p. 1-209 / Harvested from Numdam

Résumé

Suite et fin de l’article paru dans le tome 7 des Annales de l’Institut Fourier. L’actuel chapitre II étudie les opérations faisant intervenir 2 distributions à valeurs vectorielles. D’abord on étudie diverses topologies sur un produit tensoriel $L\otimes M$ ; on note ces topologies par $L\otimes _\lambda M$, où $\lambda $ est l’une des 5 lettres $\tau ,\gamma ,\beta ,\pi ,\varepsilon $. Soient alors $L,M,U,V$, 4 espaces vectoriels quasi-complets.

Pour $\xi \in L\widehat{\otimes }_\lambda U$, $\eta \in M\widehat{\otimes }_\varepsilon V$, on peut définir “un produit croisé”

Γμ,λ(ξ,η)∈(L⊗^μM)⊗^ε(U⊗^λV),

dont on étudie systématiquement les propriétés.

Plus généralement si $\varphi ,\chi ,\psi ,\omega $, sont 4 des 5 lettres précédentes, on peut, dans certaines conditions, définir, pour $\xi \in L\widehat{\otimes }_\varphi U$, $\eta \in M\widehat{\otimes }_\chi V$, un produit croisé appartenant à $(L\widehat{\otimes }_\psi M)\widehat{\otimes }_\varepsilon (U\otimes _\omega V)$.

Ce produit croisé peut être appliqué aux différents produits de 2 distributions à valeurs vectorielles.

Soient $E,F,G,$ 3 espaces de Banach, et soit $B$ une application bilinéaire continue de $E\times F$ dans $G$. Soient d’autre part ${\cal H}, {\cal K}, {\cal L}$, 3 espaces de distributions, et soit $U$ une application bilinéaire hypocontinue $(S\cdot T)\rightarrow S\cup T$ de ${\cal H}\times {\cal H}$ dans ${\cal L}$ (par exemple le produit scalaire $S\cdot T$ si ${\cal K}={\cal H}^{\prime }$, ${\cal L}=$ corps des scalaires ; le produit multiplicatif si ${\cal H}={\cal S}^{\prime }$, ${\cal K}={\cal O}_{M^{\prime }}{\cal L}={\cal S}^{\prime }$ ; le produit de convolution si ${\cal H}={\cal S}^{\prime }$, ${\cal K}={\cal O}^{\prime }_{c^{\prime }}{\cal L}={\cal S}$. Alors, si l’espace ${\cal H}$ est nucléaire, et si l’on a en outre quelques autres propriétés peu restrictives, on peut définir un produit croisé $\mathrel {\mathop {\hspace{0.0pt}S}\limits ^{\rightarrow }} \cup _B\mathrel {\mathop {\hspace{0.0pt}T}\limits ^{\rightarrow }}\in {\cal L}(G)$, pour $\mathrel {\mathop {\hspace{0.0pt}\cal S}\limits ^{\rightarrow }}\in {\cal H}(E)$, $\mathrel {\mathop {\hspace{0.0pt}T}\limits ^{\rightarrow }}\in {\cal H}(F)$ ; ce produit a les propriétés d’hypocontinuité qu’on peut normalement en attendre.

Détail

Publié le : 1958-01-01

MR 22 #8322 | Zbl 0089.09801 | 9 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.77

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Schwartz-Dieudonné. Voir Dieudonné-Schwartz.