Les espaces du type de Beppo Levi

Deny, Jacques; Lions, Jacques-Louis

Annales de l'Institut Fourier, Tome 5 (1954), p. 305-370 / Harvested from Numdam

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Résumé

Soit $Ω$ un ouvert quelconque connexe de $R^{n}$ . Soit $E$ un espace vectoriel de distributions sur $Ω$ , séparé et complet. On désigne par $B L_{m} (E)$ l’espace des distributions sur $Ω$ dont toutes les dérivées d’ordre $m$ sont dans $E$ . Ces espaces sont les espaces du type de Beppo Levi. Si $E = L^{2} (Ω)$ , on écrit $B L = B L (Ω)$ au lieu de $B L_{1} (L^{2} (Ω))$ . La première partie est consacrée aux propriétés générales des espaces $B L_{1} (E)$ ; la seconde associe à toute fonction $F \in B L (Ω)$ une fonction “précisée”, définie partout sauf sur un ensemble de capacité extérieure nulle ; la troisième aborde l’étude des $B L_{m} (E)$ . Parmi les résultats principaux, signalons : 1) l’espace séparé associé à $B L_{m} (E)$ est complet ; 2) si $n > 2$ , l’espace ${\hat{D}}^{1} (Ω)$ , complété de $D (Ω)$ pour la norme $∥ ϕ ∥_{1} = (\int_{Ω} | \vec{grad} ϕ |^{2} d x)^{1 / 2}$ est un espace de distributions. Si $n = 2$ , il en est encore ainsi, si et seulement si, $Ω$ est de complémentaire non polaire ; 3) pour que le problème de Neumann relatif à un ouvert connexe borné $Ω$ et à l’équation $Δ u = 0$ soit possible (en un certain sens) il faut et il suffit que $Ω$ soit un ouvert de Nikodym (i.e. toute $F \in B L (Ω)$ est dans $L^{2} (Ω)$ ) ; 4) pour qu’une $F \in B L (Ω)$ soit dans ${\hat{D}}^{1} (Ω)$ , il faut et il suffit qu’une fonction “précisée” $F^{*}$ , associée à $F$ , admette la pseudo-limite 0 quasi partout à la frontière, et à l’infini si $n > 2$ et $Ω$ non borné, etc.

Publié le : 1954-01-01

MR 17,646a | Zbl 0065.09903 | 36 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.55

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Deny, Jacques; Lions, Jacques-Louis. Les espaces du type de Beppo Levi. Annales de l'Institut Fourier, Tome 5 (1954) pp. 305-370. doi : 10.5802/aif.55. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1954__5__305_0/

Bibliographie

[1] Aronszajn, Noyaux pseudo-reproduisants et complétion des classes hilbertiennes, C.R. Acad. des Sciences 226, 1948, p. 537-539. | MR 9,447e | Zbl 0030.36005

[1] Aronszajn ET Smith, Functional spaces and functional completion Studies in eigenvalue problems no 10, Lawrence, 1954.

[1] Beurling, Ensembles exceptionnels, Acta Math, 72, 1940, p. 1-13. | JFM 66.0449.01 | MR 1,226a | Zbl 0023.14204

[1] Bourbaki, Espaces vectoriels topologiques, Paris, Hermann 1953.

[1] Brelot, Points irréguliers et transformations continues en théorie du potentiel, Journal de Math; 19, 1940, p. 319-337. | JFM 66.0447.01 | MR 3,47b | Zbl 0024.40301

[2] Brelot, Sur les ensembles effilés, Bull. Sc. Math. 68, 1944, p. 1-32. | MR 7,15e | Zbl 0028.36201

[3] Brelot, Sur le rôle du point à l'infini dans la théorie des fonctions harmoniques, Ann. E.N.S., 61, 1944, p. 301-332. | Numdam | MR 7,204g | Zbl 0061.22801

[4] Brelot, Sur l'allure des fonctions harmoniques et sousharmoniques à la frontière, Math. Nachr., 4, 1951, p. 298-307. | MR 13,35b | Zbl 0042.10603

[5] Brelot, Principe et problème de Dirichlet dans les espaces de Green, C.R. Ac. des Sc., 235-1952, p. 598-600. | MR 16,35a | Zbl 0048.07804

[6] Brelot, La théorie moderne du potentiel, Ann. Inst. Fourier, 4, 1952, p. 113-133. | Numdam | MR 15,527a | Zbl 0055.08903

[7] Brelot, Étude et extensions du principe de Dirichlet, Ann. Inst. Fourier, 5, 1953-1954, p. 371-419. | Numdam | MR 17,603f | Zbl 0067.33002

[1] Brelot ET Choquet, Espaces et lignes de Green, Ann. Inst. Fourier, 3, 1951, p. 199-263. | Numdam | MR 16,34e | Zbl 0046.32701

[1] Browder, The Dirichlet and vibration problem..., Proc. Acad. of Sc. 38, 1952, p. 230-235. | Zbl 0046.32302

[1] Calkin, Functions of several variables and absolute continuity I, Duke Math. J. 6, 1940, p. 176-186. | JFM 66.1224.03 | MR 1,208e | Zbl 0026.39202

[1] Cartan, Théorie du potentiel newtonien..., Bull. Soc. Math. de France 73, 1945, p. 74-106. | Numdam | MR 7,447h | Zbl 0061.22609

[2] Cartan, Théorie générale du balayage en potentiel newtonien, Ann. Univ. Grenoble, 22, 1946, p. 221-280. | Numdam | MR 8,581e | Zbl 0061.22701

[1] Courant ET Hilbert, Methoden der mathematischen Physik, Berlin, Springer 1937. | JFM 63.0449.05 | Zbl 0017.39702

[1] Deny, Les potentiels d'énergie finie, Acta Math. 82, 1950, p. 107-183. | MR 12,98e | Zbl 0034.36201

[2] Deny, Sur la convergence de certaines intégrales de la théorie du potentiel, Ark. der Math. 5, 1954, p. 367-370. | MR 16,589b | Zbl 0057.33104

[1] Deny-Lions, Espaces de Beppo Levi et applications, C. R. Acad. des Sc. 239, 1954, p. 1174-1177. | MR 16,718a | Zbl 0056.33404

[1] Friedrichs, On the boundary values problems of the theory of elasticity and Korn's inequality, Ann. of Math. 48, 1947, p. 441-471. | MR 9,255b | Zbl 0029.17002

[1] Fuglede, Closed extensions of partial differential operators, Proc. Intern. Math. Congress, Amsterdam 1954.

[1] Garding, Dirichlet's problem for linear elliptic partial differential equations, Math. Scand. 1, 1953, p. 55-72. | MR 16,366a | Zbl 0053.39101

[1] Kondrachoff, Sur certaines propriétés des fonctions de l'espace Lp, Doklady 48, 1945, p. 563-566. | Zbl 0061.26202

[1] Koudriavzeff, Sur certaines généralisations des théorèmes de Nikolsky sur la compacité des classes de fonctions différentiables, Ycp. Mat. Nauk, 9, 1954, p. 111-118.

[1] Lelong-Ferrand, Représentation conforme et transformations à intégrale de Dirichlet finie, Paris, Gauthier-Villars (à paraître prochainement). | Zbl 0064.32204

[1] (Beppo) Levi, Sul principio di Dirichlet, Rend. Palermo, 22. 1906, p. 293-359. | JFM 37.0414.04

[1] Lions, Problèmes aux limites I, C.R. Ac. des Sc. 236, 1953, p. 2373-2375. | Zbl 0050.32002

[2] Lions, Problèmes aux limites II, Id. p. 2470-2472. | Zbl 0050.32002

[3] Lions, Problèmes aux limites en théorie des distributions, à paraître aux Acta Math. | Zbl 0068.30902

[1] Michlin, Problèmes de minimum de fonctionnelles quadratiques, Moscou 1952.

[1] Morray, Functions of several variables and absolute continuity, II, Duke Math. J., 6, 1940, p. 187-215. | JFM 66.1225.01 | MR 1,209a | Zbl 0026.39202

[1] Nikodym, Sur une classe de fonctions considérées dans le problème de Dirichlet, Fund. Math. 21, 1933, p. 129-150. | JFM 59.0290.01 | Zbl 0008.15903

[1] Nikolsky, Propriétés de certaines classes de fonctions de plusieurs variables, Mat. Sbornik 33 (75), p. 261-326.

[1] Poincaré, Sur les équations de la Physique mathématique, Rend. Palermo 8, 1894, p. 57-155. | JFM 25.1526.01

[1] Polya et Szegö, Isoperimetric inequalities in mathematical Physics, Ann. of math. Studies no 27. | Zbl 0044.38301

[1] De Rham et Kodaira, Harmonic integrals, Princeton 1950.

[1] Schwartz, Théorie des distributions I, Paris, Hermann 1950. | Zbl 0037.07301

[2] Schwartz, Théorie des distributions II, Id. 1951. | Zbl 0042.11405

[3] Schwartz, Exposé sur les travaux de Garding, Séminaire Bourbaki, mai 1952. | Numdam

[1] Soboleff, Sur un théorème d'analyse fonctionnelle, Mat. Sbornik 4 (46), 1938, p. 471-477. | JFM 64.1100.02 | Zbl 0022.14803

[2] Soboleff, Sur certaines applications de l'analyse fonctionnelle à l'analyse mathématique, Léningrad 1950.

[1] Weil, L'intégration dans les groupes topologiques et ses applications-Paris, Hermann 1940. | JFM 66.1205.02 | MR 3,198b | Zbl 0063.08195