Une généralisation du problème de Cauchy

Hille, Einar

Hille, Einar

Annales de l'Institut Fourier, Tome 4 (1952), p. 31-48 / Harvested from Numdam

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Résumé

L’objet de la note est l’étude d’un problème de Cauchy pour l’équation fonctionnelle : $y^{(n)} (t) = U^{n} [y (t)]$ , $t < 0$ , avec $y^{(k)} (t) \to y_{k}$ , $k = 0, 1, ..., n - 1$ , quand $l \to 0$ . On suppose que la solution et les données ${y_{k}}$ sont des éléments d’un espace $(B)$ , $U$ est un opérateur linéaire de domaine $D [U] \subset X$ , les dérivées et les limites sont prises au sens fort. Une solution est du type normal si $t^{- 1} \log ∥ y^{(n - 1)} (t) ∥$ reste borné quant $t \to \infty$ . On montre que le problème admet au plus une solution du type normal pour n’importe quelles données dans $X$ , si $U$ est clos et ses valeurs propres ne sont pas denses dans aucun demi-plan droit.

Si $n = 1$ , si $U$ est clos et si le problème admet une solution du type normal restreint, $y (t, y_{0})$ , pour chaque $y_{0} \in D [U]$ , alors $U$ engendre un semi-groupe $T (t)$ , fortement continu, et $y (t, y_{0}) = T (t) [y_{0}]$ . Si $n = 2$ et si $U$ et $- U$ engendrent des semi-groupes fortement continus à $t = 0$ , ceux-ci forment un groupe, la solution du problème de Cauchy existe pour $y_{0} \in D [U^{2}]$ , $y_{1} \in D [U] \cap R [U]$ et s’exprime en moyen de $T (t)$ et $T (- t)$ . Si $n > 2$ , le problème général ne semble pas être résoluble et il faut le remplacer par un problème réduit avec un nombre $m < n$ des conditions initiales. Si $U$ engendre un semi-groupe $T (t)$ analytique dans un secteur, $θ_{1} < \arg t < θ_{2}$ , et continu sur la frontière, on peut prendre $m$ égale au nombre de racines d’unité d’ordre $n$ dans le secteur fermé et on exprime la solution du problème réduit en moyen des valeurs de $T (t)$ sur les rayons contenant les racines d’unité.

Publié le : 1952-01-01

MR 15,718c | Zbl 0055.34503 | 1 citation dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.44

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Hille, Einar. Une généralisation du problème de Cauchy. Annales de l'Institut Fourier, Tome 4 (1952) pp. 31-48. doi : 10.5802/aif.44. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1952__4__31_0/

Bibliographie

[1] Hille. Functional Analysis and Semi-Groups. American Mathematical Society, Colloquium Lectures XXXI, New-York, 1948. | MR 9,594b | Zbl 0033.06501

[2] Hille. On the Generation of Semi-Groups and the Theory of Conjugate Functions. Proc. R. Physiographical Society, Lund, t. 21, n° 14, 1951, 130-142. | MR 13,660c | Zbl 0044.32902

[3] Hille. A Note on Cauchy's Problem. Annales de la Société Polonaise de Mathématiques, t. 25, 1952, 13 p. | MR 15,39b | Zbl 0049.09003