Les équations d'évolution liées au produit de composition

Schwartz, Laurent

Schwartz, Laurent

Annales de l'Institut Fourier, Tome 2 (1950), p. 19-49 / Harvested from Numdam

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Résumé

Une équation d’évolution d’un système physique est une équation matricielle de la forme

\frac{\partial}{\partial t} U (x, t) + \sum_{| p | \leq m} A_{p} (x, t) D_{x}^{p} U (x, t) = B (x, t) .

Lorsque les coefficients $A$ ne dépendent que de $t$ , cette équation est un cas particulier de l’équation de composition qui, en termes de distributions, s’écrit :

\frac{d}{d t} U_{x} (t) + A_{x} (t)_{(x)}^{*} U_{x} (t) = B_{x} (t) .

La méthode pour étudier une telle équation est la transformation de Fourier effectuée pour tout $t$ sur la variable spatiale $x$ seule. On trouve ainsi que le problème de Cauchy relatif aux données initiales pour $t = 0$ n’a jamais plus d’une solution tempérée et on obtient aussi la condition nécessaire et suffisante pour qu’il en ait une. Dans ce cas, il existe une matrice résolvante $R_{x} (t, τ)$ et la solution d’un problème de Cauchy est donné par

U_{x} (t) = R_{x} (t, t_{0})_{(x)}^{*} U_{x} (t_{0}) + \int_{t_{0}}^{t} (R_{x} (t, τ)_{(x)}^{*} B_{x} (τ)) d τ .

Cette méthode est appliquée aux équations aux dérivées partielles classiques (équation de la chaleur, équation des ondes), dont on obtient aussitôt les solutions, et la solution élémentaire.

Publié le : 1950-01-01

MR 13,242b | Zbl 0042.33103 | 3 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.18

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Schwartz, Laurent. Les équations d'évolution liées au produit de composition. Annales de l'Institut Fourier, Tome 2 (1950) pp. 19-49. doi : 10.5802/aif.18. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1950__2__19_0/