Sur l'existence des corps biquadratiques $K$ dont le groupe de Galois du deuxième $2$-corps de classes de Hilbert par rapport à $K$ est semi-diédral
Azizi, Abdelmalek ; Mouhib, Ali
Archivum Mathematicum, Tome 041 (2005), p. 253-263 / Harvested from Czech Digital Mathematics Library
Access to full text
Full (PDF)

Let $K$ be a biquadratic field, $K_2^{(1)}$ be the Hilbert $2$-class field of $K$ and $K_2^{(2)}$ be the Hilbert $2$-class field of $K_2^{(1)}$. Our goal is to prove that there exists a biquadratic field $K$ such that $\operatorname{Gal\,}(K_2^{(1)}/K)\simeq \mathbb Z/2\mathbb Z\times \mathbb Z/2\mathbb Z$ and the group $\operatorname{Gal\,}(K_2^{(2)}/K)$ is semi-dihedral. Résumé. Soient $K$ un corps biquadratique, $K_2^{(1)}$ le $2$-corps de classes de Hilbert de $K$ et $K_2^{(2)}$ le $2$-corps de classes de Hilbert de $K_2^{(1)}$. Notre but est de prouver qu’il existe des corps biquadratiques réels $K$ tels que le groupe $\operatorname{Gal\,}(K_2^{(1)}/K)$ est de type $(2,2)$ et le groupe $\operatorname{Gal\,}(K_2^{(2)}/K)$ est semi-diédral.

Publié le : 2005-01-01
Classification:  11R16,  11R27,  11R37
Mots clés: corps biquadratiques, groupe de classes, corps de classes de Hilbert, capitulation, groupe des unit 
@article{107956,
     author = {Abdelmalek Azizi and Ali Mouhib},
     title = {Sur l'existence des corps biquadratiques $K$ dont le groupe de Galois du deuxi\`eme $2$-corps de classes de Hilbert par rapport \`a $K$ est semi-di\'edral},
     journal = {Archivum Mathematicum},
     volume = {041},
     year = {2005},
     pages = {253-263},
     zbl = {1122.11074},
     mrnumber = {2188381},
     language = {fr},
     url = {http://dml.mathdoc.fr/item/107956}
}

Azizi, Abdelmalek; Mouhib, Ali. Sur l'existence des corps biquadratiques $K$ dont le groupe de Galois du deuxième $2$-corps de classes de Hilbert par rapport à $K$ est semi-diédral. Archivum Mathematicum, Tome 041 (2005) pp. 253-263. http://gdmltest.u-ga.fr/item/107956/

Azizi A. Capitulation des $2$-classes d’idéaux de ${\bold Q}(\sqrt{d},i)$, Thèse de doctorat, Univ. Laval. Québec (1993). (1993)

Azizi A. Sur la capitulation des $2$-classes d’idéaux de ${\bold Q}(\sqrt{d},i)$, C. R. Acad. Sci. Paris 325, série I, (1997), 127–130. (1997) | MR 1467063

Azizi A. Capitulation des $2$-classes d’idéaux de ${\bold Q}(\sqrt{2pq},i)$, Acta arithmetica XCIV.4 (2000), 383–399. | MR 1779950

Azizi A.; Mouhib A. Sur le rang du $2$-groupe de classes de ${\bold Q}({\sqrt{m}},{\sqrt{d}})$ où $m=2$ ou un premier $p\equiv 1 (\mod \;4)$, Trans. Amer. Math. Soc. 353, No. 7, (2001), 2741–2752. | MR 1828471

Azizi A.; Mouhib A. Sur le $2$-groupe de classes du corps de genres de certains corps biquadratiques, Ann. Sci. Math. Québec 27 (2003), No. 2, 123–134. | MR 2103097 | Zbl 1088.11083

Azizi A.; Mouhib A. Capitulation des $2$-classes d’idéaux de ${\bold Q}(\sqrt{2},\sqrt{d})$ où $d$ est un entier naturel sans facteurs carrés, Acta Arithmetica 109.1 (2003).

Azizi A.; Mouhib A. Capitulation des $2$-classes d’idéaux de certains corps biquadratiques dont le corps de genres diffère du $2$-corps de classes de Hilbert, Université Mohamed I. Oujda, à paraître. | Zbl 1152.11345

Azizi A.; Mouhib A. $2$-Rang du groupe de classes de certains corps biquadratiques et applications, Université Mohamed I. Oujda, Int. J. Math. 15 (2004), No. 2, 169–182. | MR 2055368 | Zbl 1051.11057

Benjamin E.; Lemmermeyer F.; Snyder C. Real quadratic fields with abelian $2$-class field tower, J. Number Theory 73, No. 2, (1998), 182–194. (1998) | MR 1658015 | Zbl 0919.11073

Benjamin E.; Snyder C. Real quadratic number fields with $2$-class group of type $(2,2)$, Math. Scand. 76 (1995), 161–178. (1995) | MR 1354574 | Zbl 0847.11058

Derhem A. Un problème de capitulation, C. R. Acad. Sci. Paris, sér. I Math. 314, No. 11, (1992), 785–788. (1992) | MR 1166046 | Zbl 0778.11059

Gras G. Sur les $\ell $-classes d’idéaux dans les extensions cycliques relatives de degré premier $\ell $, Ann. Inst. Fourier, Grenoble 23, fasc. 3 (1973). (1973) | MR 0360519 | Zbl 0276.12013

Heider F. P.; Schmithals B. Zur Kapitulation der Idealklassen in unverzweigten primzyklischen Erweiterungen, J. Reine Angew. Math. 336 (1982), 1–25. (1982) | MR 0671319 | Zbl 0505.12016

Hasse H. Neue Begründung der theorie der Normenrest symbols, J. Reine Angew. Math. 162 (1930). (1930)

Janusz G. J. Algebraic number fields, Academic Press, New York-London (1973). (1973) | MR 0366864 | Zbl 0307.12001

Kaplan P. Divisibilité par $8$ du nombre de classes des corps quadratiques dont le $2$-groupe des classes est cyclique et réciprocité biquadratique, J. Math. Soc. Japan. 25, No. 4, (1973), 596–608. (1973) | MR 0323757

Kaplan P. Sur le $2$-groupe des classes d’idéaux des corps quadratiques, J. Reine Angew. Math. 283/284 (1976), 313–363. (1976) | MR 0404206 | Zbl 0337.12003

Kisilevesky H. Number fields with class number congruent to $4$ modulo $8$ and Hilbert’s theorem $94$, J. Number Theory 8 (1976), 271–279. (1976) | MR 0417128

Kubota T. Über den bizyklischen biquadratischen Zahlkörper, Nagoya Math. J. 10 (1956), 65–85. (1956) | MR 0083009 | Zbl 0074.03001

Kučera R. On the parity of the class number of a biquadratic field, J. Number Theory 52 (1995), 43–52. (1995) | MR 1331764 | Zbl 0852.11065

Mouhib A. Sur le $2$-groupe de classes de certains corps biquadratiques réels et Capitulation des $2$-classes d’idéaux, Thèse de doctorat, Université Mohamed I. Oujda, (2001).

Taussky O. A remark on the class field tower, J. London Math. Soc. 12 (1937), 82–85. (1937) | Zbl 0016.20002

Wada H. On the class number and the unit group of certain algebraic number fields, J. Fac. Sci., Univ. Tokyo, Sect. I 13 (1966), 201–209. (1966) | MR 0214565 | Zbl 0158.30103